Funciones en varias variables.
Se dice que una función multivariable o de varias variables es una relación matemática cuya valor de salida depende de más de un valor de entrada. Así piense por ejemplo en la relación ingresos y gastos de una persona cualquiera, la cual puede o no recibir ingresos de varias entradas al mismo tiempo que realiza gastos diversos. Por lo general para dicha persona la cantidad de dinero que puede gastar dependerá de la cantidad de dinero que produzcan sus entradas.
Suponga que la persona solo recibe ingresos de dos fuentes que representan las únicas entradas para la función ingresos-gastos entonces se dice que la función es dos variables (dos entradas), representando las entradas como \(x\) y \(y\) entonces es posible escribir la función en la forma \(z=f(x,y)\) que es la forma más simple para una función en varias variables y se estudia a continuación.
Funciones de dos variables.
Una función fde dos variables es una relación que asigna a cada par de números reales \(\left(x,y\right)\) elementos de un conjunto D llamado dominio, un único número real \(z=f\left(x,y\right)\) el cual pertenece al conjunto de imágenes llamado rango. Por lo general en cálculo una función de dos variables es denotada como,
$$f\left(x,y\right),\ \ \ \ f\left(u,v\right)\ \ \ \ {\rm o}\ \ \ f\left(r,\phi\right)$$
donde la última función está en coordenadas polares. Al escribir \(z=f\left(x,y\right)\) se dice que \(z\) es la variable dependiente, mientras que \(x\) y \(y\) son las variables independiente. El dominio de una función en dos variables es el conjunto de todos los pares \((x,y)\) para los cuales la función está definida, esto es, no se presentan ningunas de las restricciones de \(\mathbb{R}\).
1. Dividir entre cero.
2. Raíz par de un \(n|n< 0\) (número negativo).
3. Logaritmo de un \(n|n\le0\).
Dominio de funciones \(f(x,y)\).
Al evaluar una función en dos variables en un punto, se sustituye el valor del punto \(\left(x,y\right)\) en las variables independientes, para determinar el valor de la variable dependiente, siempre y cuando al sustituir no se caiga un una de las restricciones, ver Ejercicos I, Ej.1.
El dominio de una función en dos variables (entradas posibles) es el conjunto de todos los pares \(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\) para los cuales la función está definida, esto es no se presenta ninguna restricción de \(\mathbb{R}\). Ver Ejercicios I Ej.2 al Ej.4 en la pestaña superior.
El concepto de dominio puede ser extendido de manera similar a funciones de más de dos variables en la forma \(\psi(x_1,x_2,x_3 \dots,x_n)\) sin embargo para fines físicos las funciones suelen tener no más de tres dimensiones (ancho largo y alto), por lo que en general no consideran funciones de más de tres variables las cuales escribise como \(w=f(x,y,z)\) para tales funciones el dominio lo constituye toda terna del espacio \(\mathbb{R}^3\) para los cuales \(w(x,y,z)\) está definida. $${\rm dom}\ w=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|w \in \mathbb{R}\}$$ Al estudiar coordenadas cilindricas y esferícas se verá el uso de manera frecuente para funciones en tres variables.
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Límites de funciones de dos variables.
Sea \(f\) una función cualquiera definida en un disco \(D\) de centro \((x_0,y_0)\) excepto posiblemente en \((x_0,y_0)\) y sea \(L\) un número real, entonces
$$\lim_{\left(x,y\right)\to (x_0,y_0)}{f\left(x,y\right)}=L$$
si para cada \(\epsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que,
\(\left|f\left(x,y\right)-L\right|<\epsilon\) siempre que, \(0<\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}<\delta\)
Se debe notar que la definición del límite en una función en dos variables es equivalente a la definición del límite de una función en una sola variable, salvo que para la existencia del límite en una sola variable basta probar que el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha. Este hecho no puede ser reproducido en funciones multivariables, ya que la existencia o no del límite está condicionada a que sin importar la dirección en que el punto \(\left(x,y\right)\) se aproxima a \(\left(x_0,y_0\right)\) la función \(f\left(x,y\right)\rightarrow L\), esto es, existen infinitas formas de aproximar el punto \(\left(x,y\right)\) al punto \((x_0,y_0)\), para que el límite exista, todas deben converger al valor \(L\).
Para el cálculo analítico del límite de una función en dos (o más) variables se aplican las misma propiedades de linealidad, productos y cocientes, que en una variable real, también se consideran las funciones que coinciden en todo excepto en un punto. Por lo general se suele realizar aproximaciones en coordenadas cartesianas a través de las rectas \(x=0\) o \(y=mx+n\), en coordenadas polares se usan las ecuaciones de transformación, $$x=r\cos{\phi}; \ \ \ y=r\sin{\phi};\ \ \ r^2=x^2+y^2$$
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Continuidad de funciones en dos variables.
Al igual que en funciones de una sola variable es posible determinar si una función \(f(x,y)\) es continua o no en un punto o un entorno mediante un análisis homologo al realizado en funciones de una sola variable como se muestra a continuación.
Continuidad de una función en dos variables.
Se dice que \(f(x,y)\) es continua en el punto \(P(x_0,y_0)\) dentro del dominio si y solo si, $$f\left(x_0,y_0\right)=\lim_{\left(x,y\right)\to\left(x_0,y_0\right)}{f(x,y)}$$ Analizar la continuidad de f\left(x,y\right)=\frac{x^3-y^3}{x-y} en el punto (2,\ 1). \mathbf{Solucion}:\ f\left(x,y\right)\ es\ continua\ en\ el\ punto,\ si\ f\left(2,1\right)=\lim\below{\left(x,y\right)\rightarrow\left(2,1\right)}{\frac{x^3-y^3}{x-y}} \frac{\left(2\right)^3-\left(1\right)^3}{2-1}=\frac{{(2)}^3-{(1)}^3}{2-1}\ de\ donde\ 7=7,\ lo\ cual\ es\ verdadero\ y\ por\ tanto,\ se concluye que la función es continua en \left(2,1\right). \mathbf{Ejemplo}:\ Analizar\ la\ continuidad\ de\ f\left(x,y\right)=\frac{x^2-y^2}{x-y}\ en\ el\ punto\ (2,2) \mathbf{Solucion}:\ si\ f\ es\ continua\ en\ el\ punto,\ entonces\ f\left(2,2\right)=\lim\below{\left(x,y\right)\rightarrow\left(2,2\right)}{\frac{x^2-y^2}{x-y}}. \frac{\left(2\right)^2-\left(2\right)^2}{2-2}=\lim\below{\left(x,y\right)\rightarrow\left(2,2\right)}{\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}}\Longrightarrow\frac{0}{0}=\lim\below{\left(x,y\right)\rightarrow\left(2,2\right)}{(x+y)} Qué por ser el lado izquierdo indeterminado, f no es continua en \left(2,2\right). Ejemplo una función por tramos. Analizar la continuidad de la función en el punto sugerido. f(x,y)=x2+2xy2+y2x2+y2+1 si (x,y)≠(0,0)2 si (x,y)=(0,0) \mathbf{Solucion}:\ si\ f\left(x,y\right)\ es\ continua\ en\ el\ punto\ \lim\below{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{f(x,y)}=f\left(0,0\right) \lim\below{(x,y)\rightarrow\left(0,0\right)}{\left(\frac{x^2+2xy^2+y^2}{x^2+y^2}+1\right)}=\lim\below{r\rightarrow0}{\left(\frac{r^2+2r\cos{\phi}r^2\sin^2{\phi}}{r^2}+1\right)}=2 \lim\below{r\rightarrow0}{\left(\frac{r^2(1+2r\cos{\phi}\sin{\phi})}{r^2}+1\right)}=2\Longrightarrow\lim\below{r\rightarrow0}{\left(1+2r\cos{\phi}\sin{\phi}+1\right)}=2 Dado que \lim\below{r\rightarrow\left(0,0\right)}{\left(1+1\right)}=2 se concluye que la función es continua en (0,0).
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Dominio de uan función. Determinar el dominio de la función $$f\left(x,y\right)=\frac{\sqrt{3-x^2-y^2}}{y-7}$$
Dominio de \(f\left(x,y\right)\). Determinar el dominio de las función $$f\left(x,y\right)=\frac{7x^2+\ln{\sqrt{y-x}}}{2xy}$$
Límite de una función en dos variables. Determinar el límite $$L=\lim_{(x,y)\to0}{\frac{3x^2y^2}{2x^2+2y^2}}$$